Ćwiczenia 1                         3go października  2001

1. Wypisać po kilka elementów z następujących zbiorów:
• {n Î N: n jest podzielna przez 5}
• {2ⁿ : n Î N }
• {1/n : n=1,2,3,4}
• { x Î R : x=k/n oraz kÎ {1,2} i nÎ {1,2,4,8} }
2. Jaka jest liczba elementów podanych poniżej zbiorów?
• {nÎ N : n²=2}, {xÎ Q: x²=2}, {xÎ R: x²=2}
• {n Î N: n jest liczbą pierwszą , niewiększą niż 10}
• {n Î N: n jest potęgą 2}
• {-1,1}, [-1, 1], (-1, 1)
• {x Î Z: |x| <10}, {x Î R: |x| <10}
• {n Î N : n jest liczbą parzystą i liczbą pierwszą}
3. Niech U={nÎ N : n<20} będzie ustalonym uniwersum i niech A i B będą jego podzbiorami takimi, że A= {2n+1 : nÎ N i n<6}, B = {3n+2 : nÎ N i n<6}. Wyznaczyć elementy zbiorów A Č B, A Ç B, A^c Č B, A\B, B\A, A Ĺ B.
4. Niech A={xÎ R : |x| ł 5} i B={xÎ R : -6 Ł x<0}. Przedstawić graficznie te zbiory i wyznaczyć AČ B, AÇ B, A^c , A\B, B\A.
5. Niech U = {a,b}* będzie uniwersum, którego podzbiorami są zbiory A, B, C takie, że
• A= {a, b, aa, bb, aaa, bbb} B = {w Î U : długośc(w) ł 2} C = { w Î U : długośc(w) Ł 2}. Wyznaczyć zbiory B^c Ç C^c, (BÇ C)^c, (B Č C)^c, B^c Č C^c, A^c Ç B^c.
6. Wskaż, które ze zdań jest prawdziwe:
• A Ç B = A^c Č B^c
• A Ç (ĆČ B) = A wttw A Í B.
7. Wykazać dwoma sposobami , że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzą równości:
• A\B = A\(A Ç B)
• A = (A Ç B) Č (A\B)
• A\(B\C) = (A\B) Č (A Ç C)
8. Udowodnić, że następujące równości nie zachodzą dla dowolnych zbiorów (Wskazać kontrprzykłady) :
• (A\B) Č B = A
• (AČ B) \B = A
9. Udowodnić, że zachodzą następujące równości
• A Ç (BĹ C) = (A Ç B) Ĺ ( A Ç C)
• AĹ B =Ć wttw A = B.
10. Jak wyliczyć sumę, iloczyn, uzupełnienie zbiorów za pomocą komputera? Zaproponować algorytm. Rozważyć różne reprezentacje zbiorów.
11. Ile operacji trzeba wykonać aby sprawdzić czy dany skończony (n-elementowy) zbiór A jest podzbiorem zbioru np. k elementowego B.