Ćwiczenia 5 SPRAWDZIAN MAD Grupa 128 Y 30-10-2001

Dla każdego z wymienionych poniżej zadań albo wskaż właściwą odpowiedź ujmując ją w kółko albo napisz właściwą odpowiedź w miejscu oznaczonym "ODP."

1. (1p)Dla każdego z wymienionych niżej zbiorów podaj ile elementów ma zbiór P(A)

· A = {1,2,3} ODP.: 8

· A = P({1,2,3}) ODP.: 256

· A = {{1,2},{3}} ODP.: 4

2. (1p)Oblicz wartość wyrażenia A\(B\C), jeżeli A=N, B={2k : kÎN}, C ={2k+1: kÎN} .

ODP.: C

3. (1p)Zaznacz te z wymienionych niżej zdań, które są prawdziwe

· Suma relacji przeciwsymetrycznej i symetrycznej jest relacją symetryczną

· ++Przecięcie relacji symetrycznych jest relacją symetryczną

· Jeśli r jest relacją symetryczną i przechodnia , to r jest zwrotna

4. (1p)Niech A = {0,1,2,3,4,5} oraz r1 i r2 są dwiema relacjami binarnymi w A r1 = {(x,y) Î A´A : y = (x+4) mod 6 } a r2 = {(x,y)ÎA´ A : x jest najmniejszą liczbą nieparzystą większą niż y}. Narysować graf relacji złożonej r1o r2 .

5. (1p)Które z własności przysługują relacji r1 z poprzedniego zadania:

· zwrotność

· symetria

· ++przeciwzwrotność

· przechodniość

· ++przeciwsymetria

6. (1p)Niech A i B będą podzbiorami uniwersum U. Załóżmy, że A ÇB = A.
Które z zależności wymienionych niżej są przy tym założeniu prawdziwe?

· –AÍ –B

· ++ –B Í –A

· A = B

7. (1p)Która z podanych relacji jest funkcją? Dla wybranej relacji wyznacz dziedzinę
i przeciwdziedzinę

· r = {(1,2),(2,2),(2,4), (4,4),(4,8),(8,4)}

· ++ r = {(1,2),(2,2),(3,4), (4,8),(8,5)} Dom(r )={ 1,2,3,4,8} Im( r)={ 2,4,5,8}

8. (1p)Niech X będzie zbiorem n elementowym. Zaznacz te z wymienionych zdań, które są prawdziwe.

· ++ Istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca X w X, taka, że f(X)¹X .

· Każda funkcja różnowartościowa w X jest odwzorowaniem na X.

· ++ Jeżeli Dom(f)=X oraz f jest odwzorowaniem na, to f jest różnowartościowa.

· ++ Każda funkcja całkowita odwzorowująca X na X jest różnowartościowa.

9. (2p)Udowodnij, jeśli A ÍB, to A ´C Í B ´C dla dowolnego zbioru C.

ODP.: (x,y) Î A´ C implikuje xÎ A i yÎ C implikuje(ponieważ każdy element z A należy na mocy założenia do B) xÎ B i y ÎC implikuje (x,y) ÎB ´C

Czyli A ´C Í B ´C.

SPRAWDZIAN MAD Grupa 118 X 30-10-2001

Dla każdego z wymienionych poniżej zadań albo wskaż właściwą odpowiedź ujmując ją w kółko albo napisz właściwą odpowiedź w miejscu oznaczonym "ODP."

10. (1p)Dla każdego z wymienionych niżej zbiorów podaj ile elementów ma zbiór P(A)

· A = {a,b,c} ODP.:

· A = P({a,b}) ODP.:

· A = {{a,b},{c}} ODP.:

11. (1p)Oblicz wartość wyrażenia (A\B)\C, jeżeli A=N, B={2k : kÎN}, C ={2k+1: kÎN} .

ODP.:

12. (1p)Niech A i B będą podzbiorami uniwersum U. Załóżmy, że A ÇB = A. Które z zależności wymienionych niżej są przy tym założeniu prawdziwe?

· A = B

· –B Í –A

· –AÍ –B

13. (1p)Niech A = {0,1,2,3,4,5} oraz r1 i r2 są dwiema relacjami binarnymi w A r1 = {(x,y) Î A´A : y = (x+3) mod 6 } a r2 = {(x,y)ÎA´ A : x jest najmniejszą liczbą parzystą większą niż y}. Narysować graf relacji złożonej r1o r2 .

14. (1p)Które z własności przysługują relacji r2 z poprzedniego zadania:

· zwrotność

· symetria

· przeciwzwrotność

· przechodniość

· przeciwsymetria

15. (1p)Zaznacz te z wymienionych niżej zdań, które są prawdziwe

· Suma relacji przeciwzwrotnej i zwrotnej jest relacją zwrotną

· Przecięcie relacji symetrycznych jest relacją symetryczną

· Jeśli r jest relacją symetryczną i przechodnia , to r jest zwrotna

16. (1p)Która z podanych relacji jest funkcją? Dla wybranej relacji wyznacz dziedzinę
i przeciwdziedzinę

· r = {(1,2),(2,2),(2,4), (4,4),(4,8),(8,4)}

· r = {(1,2),(2,2),(3,4), (4,8),(8,8)}

17. (1p)Niech X będzie zbiorem n elementowym. Zaznacz te z wymienionych zdań, które są prawdziwe.

· Istnieje funkcja różnowartościowa odwzorowująca X w X, taka, że f(X)¹X .

· Każda funkcja różnowartościowa w X jest odwzorowaniem na X.

· Jeżeli Dom(f)=X oraz f jest odwzorowaniem na, to f jest różnowartościowa.

· Każda funkcja całkowita odwzorowująca X na X jest różnowartościowa.

18. (2p)Udowodnij, jeśli A ÍB, to C´ A Í C ´ B dla dowolnego zbioru C.