Ćwiczenia 6 6 listopada 2001

Relacje równoważności

1. Rozważmy relację binarną w zbiorze liczb całkowitych Z,
x j y wttw x mod 5 = y mod 5.

· Pokazać, że jest to relacja równoważności.

· Wskazać jej klasy abstrakcji.

2. Dla n,mÎ N przyjmijmy: n j m wttw m² - n² jest wielokrotnością 3.

· Udowodnić, że j jest relacja równoważności.

· Wskazać kilka elementów klasy [0] i klasy [1].

· Ile klas równoważności ma ta relacja.

3. Niech j będzie relacją w Z : n j m wttw n mod 9 = m mod 9.
Pokazać, że liczba utworzona z cyfr abcd (w podanej kolejności) należy do klasy [0] wttw liczba (a+b+c+d) należy do klasy [0].

4. W zbiorze potęgowym P(X) takim, że x0ÎX określamy relację:
A j B wttw x0 ÎA i x0Î B lub x0 ÏA i x0 Ï B

· Czy jest to relacja równoważności?

· Wskazać jej klasy abstrakcji.

5. Niech r1 i r2 będą dwoma relacjami równoważności w X. Pokazać, że r1È r2 jest relacją równoważności wttw r1 È r2 = r1o r2.

6. Podać jakiś (dowolny) podział R´ R. Określić relację równoważności, której klasami abstrakcji byłyby te wymienione w podziale zbiory.

7. Ile relacji równoważności można określić w n elementowym zbiorze?