Ćwiczenia
- Niech r będzie relacją binarną w P(X) dla pewnego zbioru niepustego X taką, że
A r B wttw A È
B = B
- Udowodnić, że r jest relacją częściowego porządku.
- Wskazać elementy (o ile istnieją) minimalne, maksymalne, największy i najmniejszy.
- Rozważyć, relację r w zbiorze ( P(X)/{Æ
})/{X} i wskazać jej elementy wyróżnione.
- Pokazać, że jeśli <X, r> jest zbiorem uporządkowanym, to r -1 też jest zbiorem uporządkowanym. Czy to samo można powiedzieć
- o zbiorach liniowo uporządkowanych?
- o zbiorach dobrze uporządkowanych?
- Podać przykład zbioru częściowo uporządkowanego, który ma
- kilka elementów minimalnych
- tylko jeden element minimalny.
- dokładnie jeden element minimalny ale nie ma elementu najmniejszego.
W każdym z podanych przykładów, narysować diagram Hassego.
- Udowodnić, że relacja r (porządek produktowy) określona w produkcie X´
Y dwóch zbiorów częściowo uporządkowanych <X, £
1>, <Y, £
2 > następująco
(x,y) r (x',y') wttw x £
1x' i y £
2 y' jest porządkiem częściowym.
- Czy to jest porządek liniowy?
- Czy to jest dobry porządek?
- Niech X=Y={1,2,3}. Narysować diagram Hasse porządku produktowego w X´
Y i wskazać elementy wyróżnione.
- Udowodnić, że porządek leksykograficzny w N3 jest porządkiem liniowym.
- Rozważmy zbiór R w relacją £.
- Czy R jest kratą?
- Podać przykład niepustego podzbioru R, który nie ma ograniczenia górnego w R.
- Znaleźć sup{xÎ
R : x<23}
- sup{xÎ
R : x2 < 23}, sup{ xÎ
N : x2 < 23}
- inf {x Î
R : x2< 23}, inf {x Î
N : x2< 23}
- Niech E(N) będzie zbiorem tych wszystkich podzbiorów zbioru N, które mają parzystą liczbę elementów. Rozważmy E(N) z częściowym porządkiem Í.
- Niech A={1,2}, B={1,3}. Wskazać 2 różne ograniczenia górne zbioru {A,B} w E(N).
- Czy zbiór {A,B} ma kres dolny w E(N)? Kres górny?
- Czy E(N) jest kratą?