« poprzedni punkt  następny punkt »


4. Ograniczenia i kresy zbiorów

Definicja 5.5

Niech á będzie relacją porządku w X oraz niech A będzie podzbiorem X. Ograniczeniem górnym zbioru A w X nazywamy element x0Î X, taki że a á x0 dla wszystkich aÎ A.

Ograniczeniem dolnym zbioru A w X nazywamy element x1Î X taki, że x1 á a dla wszystkich a Î A.

Przykład 5.4

(1) Rozważmy zbiór uporządkowany <R, £ > oraz jego podzbiór A = {xÎ R: 1< x < 2}. Ograniczeniem górnym zbioru A jest np. liczba 3 oraz wszystkie liczby większe lub równe 2. Ograniczeniem dolnym zbioru A są np. liczby 1, 0, -1, -2, ponieważ każda z nich jest mniejsza od wszystkich elementów zbioru A.

(2) Rozważmy teraz zbiór liczb naturalnych uporządkowany przez relację podzielności | oraz podzbiór B = {4,6,8}. Ograniczeniem górnym zbioru B są liczby 24, 48 oraz każda liczba, która dzieli się jednocześnie przez 4, 6 i 8. Ograniczeniem dolnym zbioru B są liczby 1 i 2, bo zarówno 1 jak i 2 są dzielnikami wszystkich elementów zbioru B.

Z przedstawionych przykładów wynika następujący wniosek.

Wniosek

Podzbiór zbioru uporządkowanego może mieć wiele różnych ograniczeń górnych i wiele różnych ograniczeń dolnych. Ograniczenia dolne i ograniczenia górne danego zbioru A mogą ale nie muszą należeć do zbioru A.

Definicja 5.6

Kresem górnym zbioru A, podzbioru zbioru uporządkowanego <X, á > nazywamy najmniejsze ograniczenie górne zbioru A, oznaczone przez sup A, tzn.

x0 = sup A wttw

  1. a á x0 dla każdego aÎ A
  2. jeśli b jest ograniczeniem górnym zbioru A, to x0 á b.

Kresem dolnym podzbioru A zbioru uporządkowanego <X, á > nazywamy największe ograniczenie dolne zbioru A, oznaczone przez inf A, tzn.

x1 = inf A wttw

  1. x1 á a dla każdego aÎ A
  2. jeśli b jest ograniczeniem dolnym zbioru A, to b á x1.

Pytanie 6: Czy kres górny zbioru, to element największy tego zbioru?

Zobacz odpowiedź

Przykład 5.5

  1. Kresem górnym podzbioru {1/n: nÎ N>0} zbioru liczb rzeczywistych uporządkowanego przez relację £ jest 1 (Jest to równocześnie element największy tego zbioru). Kresem dolnym tego zbioru jest 0 (zauważmy, że 0 nie należy do tego zbioru).
  2. Rozważmy zbiór uporządkowany <P(X), Í > oraz dwa zbiory A, B Î P(X). Mamy wówczas
    sup{A,B} = A È B .
    Dla dowodu tej zależności, zauważmy najpierw, że A È B jest rzeczywiście ograniczeniem górnym zbioru {A,B}, bo A Í A È B i B Í A È B. Weźmy jakiś dowolny zbiór CÎ P(X), który też jest ograniczeniem górnym dla {A,B}. Wtedy A Í C i B Í C, a stąd na mocy praw rachunku zbiorów (por. lemat 1.2) mamy A È B Í C. Czyli A È B jest najmniejszym możliwym ograniczeniem górnym dla {A,B}.
  3. Niech A = {n, m} będzie dwuelementowym podzbiorem zbioru uporządkowanego <N, |>. Wtedy sup{n,m} = najmniejsza wspólna wielokrotność (w skrócie nww) liczb n i m , oraz inf{n, m} = największy wspólny dzielnik(w skrócie nwd ) liczb n i m. Na przykład sup {4,6} = 12, a inf{4, 6} = 2; sup{12,18} = 36, a inf{12, 18} = 6.

Pytanie 7 : Rozważmy zbiór uporządkowany <P(X), Í > oraz dwa zbiory A, B Î P(X). Jaki zbiór jest kresem dolnym dla {A,B}?

Zobacz odpowiedź

Zadanie 2

Niech (Xi)iÎ I będzie indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru uporządkowanego < P(X), Í >. Jaki zbiór jest kresem górnym dla tej rodziny?

Odpowiedź : Suma uogólniona wszystkich zbiorów rodziny. Rzeczywiście, po pierwsze Xi Í î þ iÎ I Xi , bo suma uogólniona î þ iÎ I Xi (por. punkt 1.6) składa się z wszystkich elementów wszystkich zbiorów rodziny. Przypuśćmy, że dla pewnego zbioru B i dla wszystkich iÎ I, Xi Í B i niech xÎ î þ iÎ I Xi . Wtedy istnieje kÎ I, xÎ Xk, a zatem x Î B. Udowodniliśmy więc, że î þ iÎ I Xi Í B. Wynika stąd, że suma uogólniona î þ iÎ I Xi jest kresem górnym dla rodziny zbiorów (Xi)iÎ I.

Analogiczne można udowodnić, że inf (Xi)iÎ I = ì ü iÎ I Xi.

Zbiór uporządkowany, w którym dla dowolnych dwóch elementów istnieje kres górny i kres dolny nazywamy kratą. Przykładem kraty jest zbiór uporządkowany przedstawiony na rysunku 5.2, i ogólniej, zbiór <P(X), Í > dla dowolnego zbioru X (por. przykład 5.5).

Pytanie 8: Czy zbiór liczb rzeczywistych R z relacją £ tworzy kratę?

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »