« poprzedni punkt  następny punkt »


3. Suma zbiorów

Na zbiorach określa się pewne operacje (działania), które pozwolą z danych zbiorów utworzyć nowe. W dalszej części wykładu omówimy operacje dwu-argumentowe sumy,  przecięcia, różnicy i jednoargumentową operację uzupełnienia. Rodzina podzbiorów pewnej przestrzeni z tymi właśnie operacjami nazywa się algebrą zbiorów.

Definicja 1.4

Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B oznaczamy A È B. Krótko zapiszemy

x Î A È B wttw x Î A lub x Î B.

Jeśli zbiór A to obszar niebieski, a zbiór B, to obszar granatowy, to zbiór A È B, to obszar złożony z wszystkich pokolorowanych punktów, por. Rysunek 1.4.

Rys.1.4 Suma zbiorów.

Przykład 1.6

Niech A = {2k : k Î N} i B = {3n : n Î N}. Wtedy A È B jest zbiorem wszystkich liczb, które dzielą się przez 2 lub przez 3,

A È B = { n Î N : n dzieli się przez 2 lub przez 3}.

Liczba 15 Î A È B, bo dzieli się przez 3, a liczba 8 Î A È B, bo dzieli się przez 2. Liczba 6 należy też do zbioru A È B, bo dzieli się zarówno przez 2, jak i przez 3.

Pytanie 4: Jaki jest warunek konieczny i dostateczny, by x Ï A È B?

Zobacz odpowiedź

Operacja sumy, określona na zbiorach ma własności podobne do tych, jakie przysługują operacji dodawania w zbiorze liczb rzeczywistych. Poniżej wymienimy niektóre z nich.

Twierdzenie 1.2

Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości:

Æ È A = A

A È A = A (prawo idempotentności)

A È B = B È A (prawo przemienności)

(A È B) È C = ( A È (B È C) (prawo łączności)

Dowody tych równości (pozostawiamy Czytelnikowi). Można je przeprowadzić wykazując, że x należy do lewej strony równości wtedy i tylko wtedy, gdy x należy do prawej strony równości.

Oczywiście zarówno zbiór A jak i zbiór B są podzbiorami zbioru A È B. Wynika stąd często stosowana własność monotoniczności:

Lemat 1.2

Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D, jeśli A Í C i B Í D, to A È B Í C È D.

Dowód.

Załóżmy, że (1) A Í C i (2) B Í D. Jeżeli jakiś element x Î A È B, to na mocy definicji sumy  x Î A lub x Î B. Jeśli x Î A, to na mocy założenia (1), x Î C, a stąd x Î C È D. Jeśli x Î B, to na mocy założenia (2), x Î D, czyli należy także do C È D. Zatem każdy element zbioru A È B należy też do zbioru C È D.J

Lemat 1.3

Dla dowolnych zbiorów A i B, A Í B wttw A È B = B.

Dowód.

Załóżmy, że  A Í B. Gdyby   x Î A È B ale  x Ï B, to musiałoby być, że x Î A. Wtedy jednak,  na mocy założenia,  x Î B, sprzeczność. Odwrotnie, jeśli  x Î B, to x należy do każdego większego zbioru, w szczególności x Î A È B. Wynika stąd, że A Í B implikuje A È B = B.

Załóżmy teraz, że  A È B = B i rozważmy element x, x Î A. Oczywiście, x Î A È B . Wtedy jednak, na mocy założenia, że zbiory A È B i B są równe, mamy  x Î B. Ponieważ rozważaliśmy dowolny element x, zatem A Í B.J

Pytanie 5: Z ilu elementów składa się zbiór XÈ { Æ }, jeśli X jest pewnym n-elementowym podzbiorem zbioru liczb naturalnych?


« poprzedni punkt  następny punkt »