« poprzedni punkt | następny punkt » |
W zbiorze częściowo uporządkowanym <X, á > wyróżnimy pewne elementy ze względu na przyjęty porządek. Jeśli grupa osób ustawiła się w kolejkę przed okienkiem w banku, to kolejka ta wyznacza porządek obsługiwania tych osób. W tej grupie osoba pierwsza w kolejce jest w pewnym sensie wyróżniona, bo zostanie obsłużona jako pierwsza. Osoba stojąca na końcu kolejki, wyróżnia się tym, że będzie obsłużona jako ostatnia.
Definicja 5.3
Element x0 nazywamy maksymalnym w zbiorze uporządkowanym <X, á > wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje y Î X, takie że x0 ¹ y i x0 á y.
Element x0 nazywamy minimalnym w zbiorze uporządkowanym <X, á > wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje y Î X takie, że x0 ¹ y i y á x0 .
W diagramie Hasse relacji porządku, elementy minimalne i maksymalne bardzo łatwo zauważyć: te pierwsze są na dole, a te drugie na górze diagramu, por. Rys.5.4.
Rys. 5.4 Diagram Hssego pewnej relacji częściowego porządku w zbiorze {a, b, c, d, e}. Elementy a,b są elementami minimalnymi, a elementy d, e maksymalnymi w tym porządku.
Pytanie 4: Czy w zbiorze liczb naturalnych z porządkiem £ można wskazać elementy minimalne lub maksymalne?
Zobacz odpowiedźDefinicja 5.4
Element x0 nazywamy najmniejszym w zbiorze uporządkowanym <X, á > wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego y Î X, x0 á y.
Element x0 nazywamy największym w zbiorze uporządkowanym <X, á > wtedy i tylko wtedy gdy dla wszystkich y Î X i y á x0 .
Zwróćmy uwagę na subtelną różnicę w definicjach elementów najmniejszego i minimalnego oraz elementów największego i maksymalnego.
Oczywiście, element najmniejszy (największy) jest też elementem minimalnym (maksymalnym). Nie jest jednak odwrotnie, jak pokażą to przykłady.
Przykład 5.3
(1) W zbiorze liczb rzeczywistych uporządkowanych przez relację £ nie ma elementów minimalnych i nie ma elementów maksymalnych. Zbiór R jest nieskończony i dla każdej liczby rzeczywistej istnieje zarówno od niej większa liczba rzeczywista jak i istnieje liczba od niej mniejsza. Z tego też powodu, nie ma w tym zbiorze ani elementu najmniejszego ani największego.
(2) W zbiorze podzbiorów zbioru X={R, G, B} uporządkowanym przez relacje inkluzji (por. przykład 5.2(1)) istnieje element maksymalny {R,G,B} i element minimalny Æ. Zbiory te są jednocześnie elementem największym i najmniejszym w P(X). Jeśli rozważymy zbiór P(X) \{Æ } (tzn. zbiór wszystkich niepustych podzbiorów X} z inkluzją jako porządkiem, to teraz mamy aż trzy elementy minimalne {R}, {G}, {B}, natomiast nie ma w tym zbiorze elementu najmniejszego.
(3) W zbiorze {1, 2, ...,9} uporządkowanym przez relacje podzielności | (por. Rys. 5.3a) istnieje jeden element minimalny, który jest jednocześnie elementem najmniejszym, i istnieją cztery elementy maksymalne: 5, 7, 8, 9. Nie ma w tym zbiorze elementu największego.
Wniosek
Jak wynika z przedstawionych przykładów, z zbiorze uporządkowanym może być więcej niż jeden element minimalny, więcej niż jeden element maksymalny, ale co najwyżej jeden element najmniejszy i co najwyżej jeden element największy.
Pytanie 5: Czy można podać przykład zbioru, który ma tylko jeden element maksymalny i nie posiada elementu największego?
Zobacz odpowiedźZadanie 1
Udowodnić, że w każdym zbiorze uporządkowanym istnieje co najwyżej jeden element największy.
Rozwiązanie: Gdyby w pewnym zbiorze uporządkowanym przez pewną relację á istniały dwa elementy największe a i b, to dla każdego elementu x tego zbioru byłoby: x á a i x á b. W szczególności biorąc za x raz a, a drugi raz b otrzymamy b á a i a á b. Ponieważ relacja porządku jest antysymetryczna, więc musi być a=b.
« poprzedni punkt | następny punkt » |