« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja 5.5
Niech á będzie relacją porządku w X oraz niech A będzie podzbiorem X. Ograniczeniem górnym zbioru A w X nazywamy element x0Î X, taki że a á x0 dla wszystkich aÎ A.
Ograniczeniem dolnym zbioru A w X nazywamy element x1Î X taki, że x1 á a dla wszystkich a Î A.
Przykład 5.4
(1) Rozważmy zbiór uporządkowany <R, £ > oraz jego podzbiór A = {xÎ R: 1< x < 2}. Ograniczeniem górnym zbioru A jest np. liczba 3 oraz wszystkie liczby większe lub równe 2. Ograniczeniem dolnym zbioru A są np. liczby 1, 0, -1, -2, ponieważ każda z nich jest mniejsza od wszystkich elementów zbioru A.
(2) Rozważmy teraz zbiór liczb naturalnych uporządkowany przez relację podzielności | oraz podzbiór B = {4,6,8}. Ograniczeniem górnym zbioru B są liczby 24, 48 oraz każda liczba, która dzieli się jednocześnie przez 4, 6 i 8. Ograniczeniem dolnym zbioru B są liczby 1 i 2, bo zarówno 1 jak i 2 są dzielnikami wszystkich elementów zbioru B.
Z przedstawionych przykładów wynika następujący wniosek.
Wniosek
Podzbiór zbioru uporządkowanego może mieć wiele różnych ograniczeń górnych i wiele różnych ograniczeń dolnych. Ograniczenia dolne i ograniczenia górne danego zbioru A mogą ale nie muszą należeć do zbioru A.
Definicja 5.6
Kresem górnym zbioru A, podzbioru zbioru uporządkowanego <X, á > nazywamy najmniejsze ograniczenie górne zbioru A, oznaczone przez sup A, tzn.
x0 = sup A wttw
Kresem dolnym podzbioru A zbioru uporządkowanego <X, á > nazywamy największe ograniczenie dolne zbioru A, oznaczone przez inf A, tzn.
x1 = inf A wttw
Pytanie 6: Czy kres górny zbioru, to element największy tego zbioru?
Zobacz odpowiedźPrzykład 5.5
Pytanie 7 : Rozważmy zbiór uporządkowany <P(X), Í > oraz dwa zbiory A, B Î P(X). Jaki zbiór jest kresem dolnym dla {A,B}?
Zobacz odpowiedźZadanie 2
Niech (Xi)iÎ I będzie indeksowaną rodziną podzbiorów zbioru uporządkowanego < P(X), Í >. Jaki zbiór jest kresem górnym dla tej rodziny?
Odpowiedź : Suma uogólniona wszystkich zbiorów rodziny. Rzeczywiście, po pierwsze Xi Í î þ iÎ I Xi , bo suma uogólniona î þ iÎ I Xi (por. punkt 1.6) składa się z wszystkich elementów wszystkich zbiorów rodziny. Przypuśćmy, że dla pewnego zbioru B i dla wszystkich iÎ I, Xi Í B i niech xÎ î þ iÎ I Xi . Wtedy istnieje kÎ I, xÎ Xk, a zatem x Î B. Udowodniliśmy więc, że î þ iÎ I Xi Í B. Wynika stąd, że suma uogólniona î þ iÎ I Xi jest kresem górnym dla rodziny zbiorów (Xi)iÎ I.
Analogiczne można udowodnić, że inf (Xi)iÎ I = ì ü iÎ I Xi.
Zbiór uporządkowany, w którym dla dowolnych dwóch elementów istnieje kres górny i kres dolny nazywamy kratą. Przykładem kraty jest zbiór uporządkowany przedstawiony na rysunku 5.2, i ogólniej, zbiór <P(X), Í > dla dowolnego zbioru X (por. przykład 5.5).
Pytanie 8: Czy zbiór liczb rzeczywistych R z relacją £ tworzy kratę?
Zobacz odpowiedź« poprzedni punkt | następny punkt » |