« poprzedni punkt | następny punkt » |
Definicja 3.6
Obrazem zbioru A Í X wyznaczonym przez funkcję f : X ® Y nazywamy zbiór f(A) wartości jakie przyjmuje ta funkcja dla argumentów ze zbioru A, (por. Rys. 3.9a)
f(A) = {y : istnieje x Î A, f(x) = y}.
Przykład 3.7
Rys. 3.9 Obraz zbioru otrzymany przy pomocy funkcji.
Lemat 3.4
Dla dowolnych zbiorów A, B Í X i dla dowolnej funkcji f : X® Y,
Dowód.
Ad 1. Pierwsza z równości jest dość oczywista:
y Î f(AÈ B) wttw y = f(x) dla pewnego x Î AÈ B wttw xÎ A i y =f(x) lub xÎ B i y =f(x) wttw yÎ f(A) lub yÎ f(B) wttw y Î f(A) È f(B).
Ad 2. Dowód drugiej własności jest analogiczny jeżeli y Î f(A Ç B), to y = f(x) dla pewnego x Î AÇ B. To z kolei pozwala wywnioskować, że dla pewnego y, xÎ A i xÎ B i y =f(x), a zatem yÎ f(A) i yÎ f(B) co jest równoważne y Î f(A) Ç f(B).
Zastanówmy się jeszcze dlaczego w przypadku (2) nie ma równości. Przeanalizujmy, jeszcze raz przykłady. Dla funkcji g z przykładu 3.7(2) mamy g(AÇ B) = {} oraz g(A) Ç g(B) = {0}. Natomiast dla funkcji h z przykładu (3) mamy: A Ç B =[2, 4], h(AÇ B) =[1, 2]= (-µ , 2] Ç [1, 3] =[1, 2], por. 3.9b.
Pytanie 8: Jaki warunek musi spełniać funkcja f, by f(A Ç B) = f(A) Ç f(B) dla dowolnych zbiorów A i B.
Definicja 3.7
Przeciwobrazem zbioru B Í Y wyznaczonym przez funkcję f nazywamy zbiór f -1(B) złożony z tych argumentów funkcji f, dla których wartości należą do B, (por. Rys. 3.10a )
f -1(B) = { x Î X : f(x) Î B}.
Rys. 3.10 Przeciwobraz zbioru wyznaczony przez funkcję.
Na rysunku 3.10 b zaznaczono przeciwobraz zbioru [3, 5] dla funkcji |x|. Przeciwobrazy pewnych zborów wyznaczone przez funkcje z przykładu 3.7 przedstawiamy poniżej.
Lemat 3.5
Dla dowolnych zbiorów A,B Í Y i dowolnej funkcji f : X ® Y,
Dowód w obu przypadkach jest bardzo podobny. Przedstawimy dla przykładu uzasadnienie wzoru (2):
x Î f -1 (A Ç B) wttw f(x) Î (A Ç B) wttw f(x)Î A i f(x) Î B wttw xÎ f -1(A) i xÎ f -1(B) wttw x Î f -1 (A) Ç f -1 (B).
Pytanie 9: Niech f : R ® R, będzie funkcją określoną wzorem f(x) = x 2 -5x + 4. Wyznaczyć f(R\R+ ) oraz f -1 ( {0,4}).
Zobacz odpowiedź« poprzedni punkt | następny punkt » |