« poprzedni punkt  następny punkt »


3. Podziały zbioru

Rozważmy zbiór studentów PJWSTK. W naturalny sposób możemy wyróżnić dwie grupy : kobiety i mężczyźni. Podzieliliśmy w ten sposób ogół wszystkich studentów na dwie rozłączne klasy. Ponieważ w PJWSTK studiują zarówno dziewczęta jak i chłopcy więc wyróżnione klasy są niepuste. Podobnie, ogół studentów możemy podzielić na grupy w zależności od stopnia zaawansowania studiów: studenci 1-go roku, studenci 2-go roku itd. studenci 5-go roku. Żadna z tych grup nie jest pusta, a w sumie stanowią zespół wszystkich studentów PJWSTK. Matematyczną formalizację pojęcia podziału zbioru przedstawia definicja 4.2.

Definicja 4.2

Podziałem zbioru X nazywamy indeksowaną rodzinę (Xi) iÎ I niepustych podzbiorów zbioru X taką, że

.

Rozważmy jako przykład podział, wyznaczony przez osie układu współrzędnych, określony następująco:

X1 = {(x, y)Î R2 : x³ 0 i y >0},

X2 = {(x, y)Î R2 : x<0 i y ³ 0 },

X3 = {(x, y)Î R2 : x£ 0 i y <0},

X4 = {(x, y)Î R2 : x>0 i y £ 0},

X5 = {(0, 0)}.

Każdy punkt płaszczyzny należy do dokładnie jednego ze zbiorów podziału, por. Rys. 4.4a.

Inny podział tej samej płaszczyzny stanowią zbiory {(x, y)Î R2 : x³ 0}, {(x, y)Î R2 : x<0 } zaznaczone na rysunku 4.4b. Przy tym podziale, każdy punkt płaszczyzny należy albo do lewej półpłaszczyzny albo do prawej, w zależności od znaku jego odciętej.

Rys. 4.4

  1. Podział płaszczyzny na 5 części.
  2. Podział płaszczyzny na 2 części.

Przykład 4.5

Niech K(x) będzie zbiorem punktów okręgu położonego na płaszczyźnie o środku w początku układu współrzędnych i o promieniu x, xÎ R³ 0. Przyjmijmy dodatkowo, że początek układu współrzędnych jest okręgiem o promieniu 0. Rodzina okręgów K(x) dla xÎ R³ 0 stanowi podział płaszczyzny. Rzeczywiście, każdy z okręgów jest niepusty. Każdy punkt płaszczyzny należy do jakiegoś okręgu (punkt o współrzędnych (x,y) należy do okręgu K(Ö (x2 +y2)). Ponadto każde dwa zbiory K(x) i K(x') są rozłączne.

Pytanie 5: Czy następująca rodzina zbiorów jest podziałem zbioru liczb naturalnych N?

X1 = {xÎ N: x jest kwadratem liczby parzystej k}, X2 = {xÎ N: x jest liczbą pierwszą}, X3 = {xÎ N: x jest kwadratem liczby nieparzystej}.

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »