« poprzedni punkt  następny punkt »


2. Porównywanie zbiorów

Jest rzeczą naturalną, że mając wiele obiektów tego samego typu chcemy je ze sobą porównywać. W zasadzie, już w tym krótkim wstępie nie ustrzegliśmy się od tego. Wprowadzimy teraz formalnie dwie relacje pozwalające porównywać zbiory.

Definicja 1.1 Równość zbiorów

Powiemy, że dwa zbiory X i Y są równe, X = Y, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego x, jeśli xÎ X, to xÎ Y i jeśli xÎ Y , to xÎ X. Będziemy stosowali również nieco krótszy zapis symboliczny :

X=Y wttw (x ÎÞ x Î Y) oraz (xÎ Y Þ x Î X).

W myśl tej definicji, dwa zbiory są równe, jeśli posiadają te same elementy. Oczywiście, wypisanie kilkakrotne tego samego elementu lub zapisanie elementów zbioru w innej kolejności, nie zmienia zbioru. Stąd mamy:

{1,2,3,4,5} = {x Î N : 0<x<6 } = { 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5} = {5,4,3,2,1}

{x Î N : x2 <0 } = {x Î R : x= x+1} = {x: x jest pierwiastkiem rzeczywistym równania x2 +2x + 2 = 0}.

Uwaga. W dalszym ciągu,  wypisując elementy zbioru w postaci{x1,...,xn} będziemy milcząco zakładali, że są one różne. Liczbę elementów w zbiorze {x1,...,xn} nazywać będziemy mocą zbioru i oznaczymy przez |{x1,...,xn}|, a więc |{x1,...,xn}|= n.

Zanotujmy prostą, ale wielokrotnie wykorzystywaną, konsekwencję przyjętej definicji:

Lemat 1.1

Dla dowolnych zbiorów X, Y, Z, jeśli X = Y oraz Y = Z, to X = Z.

Warto też zastanowić się przez chwilę nad zaprzeczeniem równości. Co to znaczy, że X ¹ Y?  Zgodnie z przyjętą definicją równości, musi istnieć taki element zbioru X, który nie należy do Y, lub musi istnieć taki element zbioru Y, który nie jest elementem zbioru X. Na przykład, R ¹ N, bo Ö2 Î R i Ö2Ï N. Z drugiej strony jednak, każda liczba naturalna jest liczbą rzeczywistą.

Definicja 1.2 Zawieranie zbiorów

Powiemy, że zbiór X jest zawarty w Y albo, że zbiór Y zawiera zbiór X , i piszemy X Í Y wttw każdy element zbioru X jest równocześnie elementem zbioru Y.

Jeśli X Í Y, to w szczególności X może być równe Y. Aby zaznaczyć, że taka sytuacja nie może mieć miejsca, piszemy X Ì Y. O relacji Í mówimy, że jest to inkluzja albo relacja zawierania. Natomiast symbol Ì nazywamy zawieraniem właściwym. O zbiorze X, takim że X Í Y (X Ì Y) mówimy, że jest podzbiorem zbioru Y (podzbiorem właściwym zbioru Y), a o Y mówimy, że jest nadzbiorem zbioru X.

Zbiory i zachodzące miedzy nimi związki, będziemy przedstawiali również graficznie w postaci obszarów (kół) na płaszczyźnie. Fakt, że zbiór X jest zawarty w Y można przedstawić na rysunku w postaci tzw. diagramów Venna, por. Rys.1.1.

Rys.1.1 Zawieranie zbiorów, X  Í Y.

Przykład 1.3

1. Zbiór studentek PJWSTK jest oczywiście podzbiorem zbioru wszystkich osób studiujących w PJWSTK. Natomiast zbiór wszystkich studentów PJWSTK jest podzbiorem zbioru wszystkich studentów studiujących w Polsce.

2. Na szczególną uwagę zasługują pewne wyróżnione podzbiory zbioru liczb rzeczywistych zwane przedziałami. Przedziałem domkniętym o końcach a, b nazywamy zbiór [a, b] = {x Î R : a £ x £ b}. Przedziałem otwartym o końcach a, b nazywamy zbiór (a, b) = {x Î R : a < x < b}. Można mówić także o przedziałach otwarto domkniętych lub domknięto otwartych, jeśli jeden z końców przedziału do niego należy.

Zauważmy, że jeżeli nie jest prawdą, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, to możliwe są następujące 3 przypadki, por Rys.1.2:

Rys. 1.2 Zbiór A nie zawiera się w zbiorze B.

Zauważmy, że zbiór A nie jest zawarty w B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje a, a Î A , a Ï B .

Przykład 1.4

Zbiór liczb podzielnych przez 2 nie jest podzbiorem zbioru liczb podzielnych przez 5, bo np.4 jest podzielne przez 2 i nie jest podzielne przez 5. Nie jest też odwrotnie: zbiór liczb podzielnych przez 5 nie jest podzbiorem zbioru liczb podzielnych przez 2, bo np. 15 jest podzielne przez 5, a nie jest podzielne przez 2 (por. Rys.1.3).

Rys.1.3

Uwaga. Dla dowolnego x, jeśli x Î A, to {x}Í A, i x Î {x} ale  x ¹ {x}. Nie należy mylić elementu x ze zbiorem jednoelementowym {x}!

Pytanie 1:

  1. Ile elementów ma zbiór {Æ,{Æ }}?
  2. Jeśli X jest zbiorem n-elementowym, to ile elementów ma zbiór {X , {X}}?

Zanotujemy teraz pewne proste fakty dotyczące inkluzji (zawierania zbiorów), wynikające z przyjętych wcześniej definicji.

Twierdzenie 1.1

Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące zależności:

Zależność 1 wyraża fakt, że zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Rzeczywiście, mamy pokazać, że każdy element należący do zbioru Æ , należy też do A. Ale do zbioru pustego nie należy żaden element. Zatem zachodzi Æ Í   A.
Zależność 2 jest oczywista, na mocy definicji zawierania.
Zależność 3, jest zwana prawem przechodniości dla relacji inkluzji. Aby wykazać jej słuszność, załóżmy, że A Í B i B Í C. Jeśli jakiś element a należy do zbioru A, to na mocy pierwszego założenia a Î B, a z drugiego  a Î C. Zatem, jeśli tylko a Î A, to a Î C.J

Pytanie 2: Jak zapisać krótko, że A nie zawiera się w B lub B nie zawiera się w A?

Zobacz odpowiedź

Definicja 1.3

Zbiorem potęgowym nazywamy zbiór P(A)  złożony z wszystkich podzbiorów zbioru A. Zbiór potęgowy oznaczmy też czasem 2A.

Przykład 1.5

(a) Niech A = {0, 1} wtedy zbiór wszystkich jego podzbiorów, P(A), składa się z 4 zbiorów Æ, {0}, {1}, {0,1}. Zatem P(A) = {Æ, {0},{1}, {0,1}}

(b) Jeśli B = {1,{2},{1,2}}, to  jego elementami są : liczba 1, zbiór jednoelementowy {2} oraz zbiór dwuelementowy {1,2}. Podzbiorami zbioru B są natomiast : zbiór pusty, podzbiory jednoelementowe {1}, {{2}}, {{1,2}}, podzbiory dwuelementowe {1,{2}}, {1,{1,2}}, {{2}, {1,2}} oraz jeden podzbiór 3 elementowy {1, {2}, {1,2}} identyczny z B. Zatem P(B) ma 8 elementów.

Uwaga. P(A) nigdy nie jest zbiorem pustym. Nawet, gdy A jest zbiorem pustym, to P(A) jest zbiorem jedno-elementowym, bo chociaż A nie posiada elementów, to ma jeden podzbiór Æ . Czyli P(Æ ) = {Æ }.

Pytanie 3: Ile elementów ma zbiór P(X), jeśli zbiór X ma 4 elementy?


« poprzedni punkt  następny punkt »