następny punkt » |
Jeżeli każdemu elementowi zbioru X przyporządkujemy co najwyżej jeden element zbioru Y, to powiemy, że została określona funkcja w zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y. Krótko zapisujemy ten fakt w postaci f : X ® Y.
Przyporządkowanie, odwzorowanie, przekształcenie, to słowa, którymi zamiennie określa się funkcje. Jeżeli elementowi x Î X pewna funkcja f przyporządkowuje element y Î Y, to piszemy f(x) =y i element x nazywamy argumentem funkcji, a element y wartością funkcji lub obrazem elementu x.
Zbiór Dom(f) tych elementów x, którym funkcja f przypisuje wartość, nazywamy zbiorem argumentów lub dziedziną funkcji. Zbiór Im(f) tych y, które są wartościami funkcji nazywamy zbiorem wartości lub przeciwdziedziną funkcji.
Dom(f) = { xÎ X : istnieje takie y Î Y, że f(x) = y}
Im(f) = { yÎ Y : istnieje takie x Î X, że f(x) = y}
Rys. 3.1 (a) Przykład funkcji (b) Graf relacji, która nie jest funkcją.
Przykład 3.1
f : A* ® N
Dziedziną funkcji f jest A*, ponieważ długość jest określona dla wszystkich słów (jako długość słowa pustego przyjmujemy 0). Przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych, bo dla każdej liczby naturalnej n istnieje słowo o n literach (elementach zbioru A).
Rozważmy jeszcze jeden przykład dobrze znanej funkcji. Niech suc oznacza odwzorowanie,
suc : N ® N,
które liczbie naturalnej n przypisuje jej bezpośredni następnik, suc(n) = n+1. Oczywiście, dla każdej liczby naturalnej n jest określony następnik suc(n), suc(0) = 1, suc(1) = 2, suc(2) = 3 itd. Wydaje się, że zupełnie analogicznie można danej liczbie przyporządkować jej poprzednik, definiując pred: N ® N tak, że
pred(n) = n-1.
Jednak teraz sytuacja jest nieco inna. Liczbie naturalnej 1 przypiszemy 0, a co przypiszemy liczbie 0? Odwzorowanie pred nie jest określone dla liczby 0. O takiej funkcji mówimy, że jest częściowa, w przeciwieństwie do funkcji całkowitej, jaką jest następnik suc.
Z tego co do tej pory powiedzieliśmy o funkcjach wynika, że każda funkcja f : X ® Y, determinuje pewien zbiór par postaci (x, f(x)) takich, że żadne dwie pary nie mają tego samego poprzednika. Takie spojrzenie na funkcje prowadzi do następującej definicji:
Definicja 3.1
Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Relację binarną f Í X ´ Y będziemy nazywać funkcją ze zbioru X w zbiór Y(co zapisujemy w postaci f : X® Y) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x Î X istnieje co najwyżej jeden element y Î Y taki, że (x, y)Î f. Jeżeli para (x,y)Î f, to piszemy y = f(x).
Jeżeli Dom(f ) = X, to f jest funkcją całkowitą. Jeżeli Dom(f) Ì X, to f jest funkcją częściową.
Przykład 3.2
Rys. 3.2 Funkcja charakterystyczna przedziału [2,5] zbioru liczb rzeczywistych.
Szczególnym przypadkiem funkcji są skończone i nieskończone ciągi. Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych N lub jakimś jego segmencie Nk (skończonym lub nie) postaci [k, k+1, k+2, k+3,..., k+i,...], gdzie k jest ustaloną liczbą naturalną, a iÎ N. Jeśli dziedziną ciągu jest zbiór nieskończony, to mówimy o ciągu nieskończonym, w przeciwnym przypadku mówimy o ciągu skończonym.
Jeśli c : Nk ® Y, to wartości funkcji c dla argumentu k+i oznaczamy ck+i i nazywamy i-tym wyrazem ciągu c, a liczbę k+i jego indeksem. Sam ciąg zwykle zapisujemy w postaci listy (c k, c k+1, ck+2, c k+3,...) lub krócej (c j) jÎ Nk lub, jeśli jest to ciąg skończony, w postaci (c j) k£ j£ n .
Przykład 3.3
Rys. 3.3 Liczby trójkątne.
Funkcje, podobnie jak relacje, możemy przedstawiać w postaci grafu, wykresu lub tablicy wartości. Na rysunku 3.4a przedstawiliśmy wykres funkcji f(x) = |x|,
f(x) = x dla x ³ 0 i f(x) = -x dla x < 0,
określonej na zbiorze liczb rzeczywistych i o wartościach nieujemnych. Na rysunku 3.4b przedstawiliśmy funkcję g, odwzorowującą zbiór liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, określoną jako
g(x) = c wttw c jest najmniejszą liczbą całkowitą c ³ x.
Dziedziną funkcji g jest zbiór liczb rzeczywistych, a przeciwdziedziną zbiór liczb całkowitych. Funkcja g jest tzw. funkcją schodkową. Funkcję tę oznaczamy symbolem é xù .
Na rysunku 3.4 c,d przedstawiliśmy tablicę wartości i graf funkcji h(x) = (x+2) mod 4, której wartością jest reszta z dzielenia x+2 przez 4.
Rys.3.4 (a) Wykres funkcji |x|. (b) Wykres funkcji schodkowej é xù . (c) Tablica wartości funkcji (x+2) mod 4 i (d) jej graf.
Pytanie 1: Niech f(x) = 2x będzie funkcją określoną na zbiorze {0, 1, 2, ...,10}. Jaki jest jej zbiór wartości?
Zadanie 1
Narysować wykres funkcji f(x) = c wttw gdy c jest największą liczba naturalną niewiększą niż |x| (|x| wartość bezwzględna x), dla xÎ R.
następny punkt » |