« poprzedni punkt  następny punkt »


4. Obrazy i przeciwobrazy wyznaczone przez funkcje

Definicja 3.6

Obrazem zbioru A Í X wyznaczonym przez funkcję f : X ® Y nazywamy zbiór f(A) wartości jakie przyjmuje ta funkcja dla argumentów ze zbioru A, (por. Rys. 3.9a)

f(A) = {y : istnieje x Î A, f(x) = y}.

Przykład 3.7

  1. Niech X będzie zbiorem studentów PJWSTK i niech f : S® N będzie funkcją, która każdemu studentowi przypisuje numer grupy ćwiczeniowej, do której ten student należy. Załóżmy, że na pierwszym roku jest 20 grup, ponumerowanych od 101 do 120. Wtedy obrazem zbioru A studentów 1-go roku wyznaczonym przez funkcję f jest dwudziestoelementowy zbiór {101, 102,...120}.
  2. Niech g: R ® R, g(x) = sin(x) oraz A = [-pi, - pi/2], B = [pi/2, pi]. Wtedy g(A) = [-1,0] i g(B) = [0, 1].
  3. Niech h : R+® R, h(x) = lg x (R+ oznacza zbiór liczb rzeczywistych >0) i niech A = [0, 4], B= [2, 8] . Wtedy h(A) = (-µ, 2] i h(B) = [1, 3], por. Rys. 3.9b.

Rys. 3.9 Obraz zbioru otrzymany przy pomocy funkcji.

Lemat 3.4

Dla dowolnych zbiorów A, B Í X i dla dowolnej funkcji f : X® Y,

  1. f(AÈ B) = f(A) È f(B),
  2. f(A Ç B) Í f(A) Ç f(B).

Dowód.

Ad 1. Pierwsza z równości jest dość oczywista:

y Î f(AÈ B) wttw y = f(x) dla pewnego x Î AÈ B wttw xÎ A i y =f(x) lub xÎ B i y =f(x) wttw yÎ f(A) lub yÎ f(B) wttw y Î f(A) È f(B).

Ad 2. Dowód drugiej własności jest analogiczny jeżeli y Î f(A Ç B), to y = f(x) dla pewnego x Î AÇ B. To z kolei pozwala wywnioskować, że dla pewnego y, xÎ A i xÎ B i y =f(x), a zatem yÎ f(A) i yÎ f(B) co jest równoważne y Î f(A) Ç f(B).

Zastanówmy się jeszcze dlaczego w przypadku (2) nie ma równości. Przeanalizujmy, jeszcze raz przykłady. Dla funkcji g z przykładu 3.7(2) mamy g(AÇ B) = {} oraz g(A) Ç g(B) = {0}. Natomiast dla funkcji h z przykładu (3) mamy: A Ç B =[2, 4], h(AÇ B) =[1, 2]= (-µ , 2] Ç [1, 3] =[1, 2], por. 3.9b.

Pytanie 8: Jaki warunek musi spełniać funkcja f, by f(A Ç B) = f(A) Ç f(B) dla dowolnych zbiorów A i B.

Definicja 3.7

Przeciwobrazem zbioru B Í Y wyznaczonym przez funkcję f nazywamy zbiór f -1(B) złożony z tych argumentów funkcji f, dla których wartości należą do B, (por. Rys. 3.10a )

f -1(B) = { x Î X : f(x) Î B}.

Rys. 3.10 Przeciwobraz zbioru wyznaczony przez funkcję.

Na rysunku 3.10 b zaznaczono przeciwobraz zbioru [3, 5] dla funkcji |x|. Przeciwobrazy pewnych zborów wyznaczone przez funkcje z przykładu 3.7 przedstawiamy poniżej.

  1. f -1({101,102}) = wszyscy studenci 1-go roku, którzy należą do grup ćwiczeniowych 101 i 102.
  2. g(x) = sin x, g -1({0}) = {k*pi : kÎ Z}, g-1 ([-1,1]) = R .
  3. h(x) = lg x, h -1([2,5]) = {x Î R : 4 £ x £ 32}.

Lemat 3.5

Dla dowolnych zbiorów A,B Í Y i dowolnej funkcji f : X ® Y,

  1. f -1 (AÈ B) = f -1 (A) È f -1 (B),
  2. f -1 (A Ç B) = f -1 (A) Ç f -1 (B).

Dowód w obu przypadkach jest bardzo podobny. Przedstawimy dla przykładu uzasadnienie wzoru (2):

x Î f -1 (A Ç B) wttw f(x) Î (A Ç B) wttw f(x)Î A i f(x) Î B wttw xÎ f -1(A) i xÎ f -1(B) wttw x Î f -1 (A) Ç f -1 (B).

Pytanie 9: Niech f : R ® R, będzie funkcją określoną wzorem f(x) = x 2 -5x + 4. Wyznaczyć f(R\R+ ) oraz f -1 ( {0,4}).

Zobacz odpowiedź


« poprzedni punkt  następny punkt »