« poprzedni punkt | następny punkt » |
Niech symbolem prawdy będzie 1, a symbolem fałszu 0. Fakt, że jakieś zdanie a jest prawdziwe, oznaczymy przez w(a) =1, a fakt, że jakieś zdanie jest fałszywe oznaczymy przez w(a) = 0. W ten sposób w jest funkcją, która zdaniom przypisuje ich wartość logiczną.
w("Wisła jest nazwą rzeki w Polsce") = 1 oraz
w("Tatry są najwyższymi górami na świecie") = 0
Mając wartości zdań prostych można określić wartość logiczną zdań złożonych. Podane poniżej tablice nazywamy czasami matrycami logicznymi (albo tablicami logicznymi) (por. Rys. 6.1). Definiują one sens operacji zdaniotwórczych.
w(p) |
w(Ø p) |
0 |
1 |
1 |
0 |
Rys. 6.1 Na rysunku przedstawiono tablice logiczne dla funktorów Ø , Ù , Ú , ® , « .
Innymi słowy, w zbiorze wartości logicznych {0,1} mamy określone: jednoargumentowe działanie Ø oraz cztery działania dwuargumentowe Ù , Ú , ® , « :
Ø 1 = 0 | Ø 0 = 1 | ||
1 Ù 1 = 1 | 1 Ù 0 = 0 | 0 Ù 1 = 0 | 0 Ù 0 = 0 |
1 Ú 1 = 1 | 1 Ú 0 = 1 | 0 Ú 1 = 1 | 0 Ú 0 = 0 |
1 ® 1 = 1 | 1 ® 0 = 0 | 0 ® 1 = 1 | 0 ® 0 = 1 |
1 « 1 = 1 | 1 « 0 = 0 | 0 « 1 = 0 | 0 « 0 = 1 |
Czytelnik zechce zwrócić szczególną uwagę na, najmniej intuicyjny, spójnik implikacji ® . Implikacja p ® q przyjmuje wartość prawdy, gdy poprzednik p jest zdaniem fałszywym. Zatem zdanie "2+2=5 ® (każda liczba naturalna jest parzysta)" jest prawdziwe, bo oba człony zadnia są fałszywe, a zdanie "2+2=5 ® 2+2=4" jest prawdziwe, bo poprzednik tej implikacji jest zdaniem fałszywym.
Zbiór {0,1} z operacjami Ø , Ù , Ú , ® nazywa się dwuelementową algebrą Boole'a. Zwykle będziemy ją oznaczać przez B0 (por. wykład 10).
Pytanie 2: Jaka jest wartość podanych wyrażeń w algebrze Boole'a?
Funktory logiczne Ø , Ù , Ú , ® mają pewną wspólną cechę, a mianowicie: wartość logiczna zdań utworzonych przy ich pomocy, zależy jedynie od wartości logicznej zdań, z których powstało wyrażenie, a nie od sensu tych zdań. Taką własność funktorów nazywamy ekstensjonalnością.
Przykład 6.3
Wartość zdania: "Wszyscy na tej sali żywo interesują się logiką lub rachunek zdań jest podstawą logiki matematycznej" zależy tylko od tego jaka jest wartość zdań: "wszyscy na tej sali żywo interesują się logiką " lub "rachunek zdań jest podstawą logiki matematycznej". Co więcej wartością tego zdania jest prawda, o ile chociaż jedno ze zdań składowych jest prawdziwe.
Natomiast wartość logiczna zdania "Myślę, że wszyscy na sali żywo interesują się logiką lub rachunek zdań jest podstawą logiki matematycznej " zależy nie od zdań składowych ale od tego co ja o tym myślę. Chociaż zwrot "Myślę, że" można uznać za operator, który pozwala tworzyć nowe zdania, to jednak nie ma on własności ekstensjonalności. Takimi funktorami nie zajmuje się rachunek zdań.
Pytanie 3: Przyjmijmy, że Piotr jest najlepszym studentem PJWSTK. Jaka jest wartość zdania "Wydaje się, że Piotr jest najlepszym studentem PJWSTK"?
Zobacz odpowiedźPowstaje pytanie: ile można utworzyć różnych funktorów zdaniotwórczych ekstensjonalnych?
Zastanówmy się najpierw, ile jest różnych funktorów zdaniotwórczych ekstensjonalnych jednoargumentowych. Inaczej mówiąc, ile jest różnych funkcji jednoargumentowych f : {0,1} ® {0,1}.Oczywista odpowiedź to 4, bo można utworzyć dokładnie cztery (22) różne matryce logiczne (por. Rys. 6.2):
p |
f1p |
f2 p |
f3 p |
f4 p |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Rys. 6.2a Tablica wszystkich funktorów jednoargumentowych
(tzn. wszystkich funkcji ze zbioru {0,1} w zbiór {0,1}).
Podobnie, zastanówmy się, ile można utworzyć różnych funktorów zdaniotwórczych dwuargumentowych, ekstensjonalnych. Czyli, ile jest różnych funkcji dwuargumentowych f:{0,1}´ {0,1} ® {0,1}? Oczywiście 24, czyli 16 (por. Rys.6.2b).
p q |
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
f5 |
f6 |
f7 |
f8 |
f9 |
f10 |
f11 |
f12 |
f13 |
f14 |
f15 |
f16 |
0 0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Rys. 6.2b Tablica wszystkich funktorów dwuargumentowych.
Zauważmy, że f5 to po prostu koniunkcja, a f15 to alternatywa. Chociaż jest aż 16 różnych funktorów dwuargumentowych, to najczęściej używa się koniunkcji Ù , alternatywy Ú i implikacji ® . Dlaczego? Otóż, te funktory najlepiej odpowiadają znanym w językach naturalnych spójnikom logicznym, a ponadto każdy inny funktor dwuargumentowy można zdefiniować używając tylko negacji i jednego z tych funktorów. Warto jeszcze zwrócić uwagę na funktor oznaczony na rysunku 6.2b numerem 12. Nazywa się on funktorem Sheffera i oznacza się go symbolem |. Funktor Sheffera, sam jeden, wystarcza do zdefiniowania wszystkich pozostałych funktorów zdaniotwórczych, zarówno jednoargumentowych jak i dwuargumentowych. Czytelnik zechce sprawdzić samodzielnie, że zachodzą następujące równości, definiujące funktory negacji alternatywy i koniunkcji przy pomocy funktora Sheffera:
Ø p = p|p, p Ú q = (p|p)|(q|q), p Ù q = (p|q)|(p|q).
Zadanie 2 Zdefiniować funktory dwuargumentowe f5, f8, f13 i f16 przy pomocy negacji i alternatywy.
Odpowiedź: f5 (p,q) =Ø ( Ø p Ú Ø q) , f8(p,q) = Ø ( Ø p Ú Ø q) Ú Ø ( pÚ q),
f13(p,q) = (Ø pÚ q), f16 (p,q) = p Ú Ø p .
« poprzedni punkt | następny punkt » |